نمودارهای نیرو یا مختصات تعمیم یافته؟

مسعود سعیدی | سه شنبه, ۴ آبان ۱۳۹۵، ۱۲:۴۳ ب.ظ

اگر این مسئله را می خواستید با روش رسم نودار حل کنید، مناسب می بود که از چهارچوب غیر لخت یا غیر اینرسیال متصل به سطح شیبدار کمک می گرفتید ( به کمک شبه نیروهای –ma و –Ma ) در غیر این صورت با دشواری های نوشتن معادلاتی که باقی ماندن توپ بر روی سطح شیبدار را توصیف می کردند، روبرو می شدیم. حل مسئله به این روش را بر عهده خواننده می گذاریم و در ادامه به شرح حالت مسئله توسط استفاده از جابجایی سطح شیبدار با کمک پارامتر می پردازیم.

در این صورت سرعت تعمیم یافته سطح شیبدار برابر خواهد بود با و با کمی دقت متوجه می شویم که سرعت تعمیم یافته توپ هم نسبت سطح شیبدار برابر با خواهد بود ( توجه داشته باشید که بر اثر جابجایی سطح شیبدار، ریسمان نیز به توپ اجاز خواهد داد که به اندازه در راستای سطح شیبدار به پایین بلغزد). این مطلب به این معنی خواهد بود که مولفه قائم سرعت توپ برابر خواهد بود و مولفه افقی برابر می شود با در نتیجه می توانیم بنویسم:

برای بدست آوردن شتاب حرکت سطح شیبدار، کافی خواهد بود که از معادله بالا نسبت به زمان مشتق بگیریم:

به عنوان یک مثال دیگر، اجازه بدهید که یک مسئله المپیاد فیزیک قدیمی ( 1971 صوفیه – بلغارستان مسئله شماره یک) را بررسی کنیم. آرایش مسئله تقریبا مشابه مسئله قبلی است اما در اینجا دیواری وجود ندارد و بجای یک توپ از دو جسم استفاده شده است. مجددا سوال آن است که شتاب حرکت سطح شیبدار چقدر است.

ممکن است در اینجا تصور کنید که بدلیل آن که دو درجه آزادی در این مسئله وجود دارد، روش بالا کاربرد ندارد. به این معنی که سطح شیبدار نسبت به میز حرکت خواهد کرد و آجرها هم نسبت به سطح شیبدار حرکت خواهند کرد. اما توجه داشته باشید که اگر به اصل پایستگی مرکز جرم در غیاب نیروهای افقی خارجی فکر کنیم، می توانیم جابجایی آجرها ( نسبت به سطح شیبدار) را بر حسب جابجایی سطح شیبدار بیان کنیم:

حالا باید روابط انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی را بشکل زیر بنویسیم:

در روابط بالا باید را با جایگزین کنیم و از رابطه انرژی کل نسبت به زمان مشتق بگیریم و نتیجه را بر حسب بیان کنیم. البته حجم محاسبات جبری باقی مانده چندان کم نیست، اما نتیجه چنین باید بدست آید:

به عنوان یک مثال واقعا ساده دیگر می توانیم به نوسانات سطح آب در یک لوله U شکل اشاره کرد. فرض کنید که آب طول L از لوله را اشغال کرده باشد. در اینجا می خواهیم از ارتفاع سطح آب ( نسبت با سطح تعادل) به عنوان مختصه تعمیم یافته استفاده کنیم. در حالتی که >0 ستونی از آب به ارتفاع از یک طرف لوله به سمت دیگر لوله انتقال داده شده است که معادل انرژی پتانسیلی برابر با است. از طرف دیگر انرژی جنبشی برابر خواهد بود با و با اعمال تکنیک موضوع این نوشته می توانیم شتاب را چنین بدست آوریم:

که بیان کننده یک نوسانگر هماهنگ با بسامد زاویه ای است.

در عمل، زمانی که در عجله قرار داریم و به بسامد زاویه ای یک نوسانگر نیاز داریم، می توانیم از دو گام نوشتن معادله حرکت و مشتق گرفتن نسبت به زمان صرف نظر کرد. در واقع در یک حرکت نوسانی هماهنگ هر دو مقدار و باید بترتیب نسبت به متغیرهای و از درجه دو باشند. یعنی: