شبه نیرو

 شبه نیرو

قبل از آنکه به شرح مفهوم شبه نیرو بپردازیم، بگذارید از یک مثال استفاده کنیم.

فرض کنید از سقف یک اتوبوس که با شتاب یکنواخت در جهت افقی حرکت می کند، وزنه ای آویزان شده است. دو ناظر A و B شاهد وضعیت هستند. ناظر A درون اتوبوس ایستاده است و ناظر B در خارج از اتوبوس فرضا در کنار مسیر حرکت بر روی زمین ایستاده است. حال می خواهیم ببینیم، این دو ناظر این رویداد را چگونه مشاهده و تفسیر می کنند.

 

جسم آویخته به سقف اتوبوس در حرکت شتاب دار ( آونگ) در مقایسه با حالت تعادل، به اندازه  از راستای قائم منحرف می شود.

( مقصود از حالت تعادل وضعیتی است که اتوبوس در حال سکون است) . ناظر B وضعیت را چنین شرح می دهد: از آنجایی که آونگ نسبت به اتوبوس در حرکت نیست، در نتتیجه جسم آویخته خود نیز در حال حرکت شتابدار با شتاب a است و نمودار نیروها وارد بر آن را بصورت زیر ترسیم می کند.

نمودارهای نیرو یا مختصات تعمیم یافته؟

نمودارهای نیرو یا مختصات تعمیم یافته؟

بطور معمول در دبیرستان آموخته اید که برای حل آن دسته از مسائلی که در آن ها اجسام با یک دیگر بر هم کنش دارند، باید از روش رسم نمودارهای نیرو و نوشتن معادلات تعادل ( بر اساس قانون دوم نیوتن) در جهات x,y,z ( در مسائل سه بعدی) استفاده کرد. اما در مسائلی که کمی از پیچیده تر از مسائل ابتدایی هستند، روش فوق از بهترین راه حل فاصله می گیرد.

یک روش بسیار قدرتمند برای حل مسائل پیچیده مکانیک وجود دارد به نام مختصات تعمیم یافته یا Generalized coordinates.

مختصات تعمیم یافته را می توانیم به زبان ساده به صورت زیر شرح دهیم.

فرض کنید که بتوان حالت (State) یک سامانه را تنها توسط یک پارامتر بنام   توصیف نمود. به چنین پارامتری یک مختصه تعمیم یافته می گوییم ( این روش می تواند در مواردی با دو یا تعداد بیشتری پارامتر تعمیم یافته نیز بکار گرفته شود، اما افزایش تعداد مختصات تعمیم یافته راه حل را پیچیده می کند و در بیشتر موارد استفاده از یک متغیر تعمیم یافته کاملا کفایت می کند).

یکی از اولین کارهایی که باید انجام دهیم آن است که انرژی پتانسیل   را بر حسب متغیر تعمیم یافته معرفی شده بیان کنیم یعنی  و به همین ترتیب انرژی جنبشی را بر حسب مشتق  نسبت زمان یا باید بیان شود، یعنی . خوب است یادآوری کنیم که مشتق زمانی یک متغیر تعمیم یافته را سرعت تعمیم یافته مرتبط با متغیر می نامند.

در صورتی که تلفات انرژی وجود نداشته باشد و یا سامانه تحت تاثیر نیروهای خارجی قرار نگیرد، انرژی کل ثابت خواهد بود و در نتیجه:

حالا اگر از طرفین رابطه بالا مشتق نسبت به زمان بگیریم، می توانیم شتاب تعمیم یافته پارامتر  را بدست آوریم:

توجه داشته باشید که در بیشتر مواقع کمیت ( مشتق انرژی جنبشی – که تابعی از توان دو سرعت تعمیم یافته هست-  نسبت به متغیر سرعت تقسیم بر سرعت یا)  مقدار ثابت است و این عبارت نقش جرم موثر M را ایفا می کند.  در برخی از موارد ممکن است بنظر برسد که K هم وابسته با  ( علاوه بر سرعت تعمیم یافته) است یا حتی شاید به وابسته باشد. در چنین شرایطی رابطه فوق بر قرار نخواهد بود، اما روش و تکنیک همچنان قابل استفاده است ( به مثال فنر دوار مراجعه کنید).

برای نمایش چگونگی استفاده از این روش، از یک مسئله ساده سطح شیبدار شروع می کنیم. سامانه ای را در نظر بگیرید که در آن توپی به جرم m بر روی سطح شیبداری به جرم M قرار گرفته باشد. مطابق شکل تصور کنید که توپ توسط ریسمان و قرقره ای به جرم های ناچیز به به دیوار قائم متصل شده باشد. با فرض آنکه تمامی سطوح بدون اصطکاک هستند، شتاب حرکت سطح شیبدار را بیابید.